Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{2} a & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica

a^{2}

$a^{2}$ per

a

$a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Moltiplica

a^{2}

$a^{2}$ per

a

$a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Eleva

a

$a$ alla potenza di

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{2} a^{1} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a^{1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Passaggio 1.1.1.2

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2

Somma

2

$2$ e

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{a}

$\frac{1}{a}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{a}

$\frac{1}{a}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{a}{a} & \frac{a}{a} & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{a}{a} & \frac{a}{a} & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Passaggio 1.2.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - a R_{1}

$R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a - a \cdot 1 & a^{3} - a \cdot 1 & 1 - a^{2} - a \frac{1 - a}{a} & 1 - a \frac{1}{a} \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Passaggio 1.4

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a - 2 a \cdot 1 & a + a^{2} - 2 a \cdot 1 & 2 - 2 a - 2 a \frac{1 - a}{a} & a + 2 - 2 a \frac{1}{a} \end{array}]$

Passaggio 1.4.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Passaggio 1.5

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{1}{a^{3} - a}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{1}{a^{3} - a}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{0}{a^{3} - a} & \frac{a^{3} - a}{a^{3} - a} & \frac{- a^{2} + a}{a^{3} - a} & \frac{0}{a^{3} - a} \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Passaggio 1.5.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Passaggio 1.6

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 - (a^{2} - a) \cdot 0 & a^{2} - a - (a^{2} - a) \cdot 1 & 0 - (a^{2} - a) (- \frac{1}{a + 1}) & a - (a^{2} - a) \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.6.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a (a - 1)}{a + 1} & a \end{array}]$

Passaggio 1.7

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot \frac{a (a - 1)}{a + 1} & \frac{a + 1}{a (a - 1)} a \end{array}]$

Passaggio 1.7.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Passaggio 1.8

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & - \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + 1} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Passaggio 1.8.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Passaggio 1.9

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & \frac{1 - a}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot 1 & \frac{1}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Passaggio 1.9.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{a + 2}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Passaggio 1.10

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{a + 2}{a} - \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Passaggio 1.10.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{a^{2} - 2}{a (a - 1)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Passaggio 2

Le posizioni pivot sono le posizioni con il termine principale

$1$ in ogni riga. Le colonne pivot sono colonne con una posizione pivot.

Posizioni pivot:

$a_{11}, a_{22},$ e

$a_{33}$

Colonne pivot:

$1, 2,$ e

$3$